ЕГЭ по информатике 2026, задание 15: логическое выражение

Задание 15 — повышенный уровень, 1 балл. Дано логическое выражение. Нужно найти такие A, при которых оно тождественно истинно на всей области, либо наименьшую длину отрезка A, наибольшее число A и похожие величины.

ФИПИ советует помнить, что импликация P → Q равна ¬P ∨ Q. Выражение должно быть истинно при всех допустимых x, а не на одном удачном наборе.

Конспект

Два частых вида.

Числовое множество A. Выражение вида «если x принадлежит отрезку P, то x принадлежит A» или с эквиваленцией. A восстанавливают по отрезкам: смотрите, какие x обязаны входить в A и какие не могут входить. Длина — разность концов. Если A — целочисленное множество, длина и мощность — разные вещи. Читайте, что спрашивают.

Делимость и побитовые операции. Обозначения ДЕЛ(n, m) — n делится на m без остатка. Выражение должно быть верно для всех натуральных x из указанного диапазона. Тогда A перебирают, а для каждого A проверяют все x.

Порядок:

1. Замените импликацию на «не первое или второе».

2. Найдите область x. Если это все целые от 1 до 1000 или от 0 до 10^4, хватает перебора. Если все действительные — рисуйте отрезки, перебор точек даст дыры.

3. Для каждого кандидата A проверьте, что нет ни одного x-контрпримера.

4. Среди подходящих A выберите минимум, максимум или кратчайший отрезок, как сказано.

Тождественная истина не следует из истинности на двух-трёх «подозрительных» точках. Контрпример один, и гипотеза снята.

Шаблон на Python

def delit(n, m):
    return m != 0 and n % m == 0

def impl(a, b):
    return (not a) or b

def ok(a):
    for x in range(1, 1000):
        expr = impl(delit(x, a) or (x > 70), delit(x, 22) or (x > 50))
        if not expr:
            return False
    return True

good = [a for a in range(1, 200) if ok(a)]
print(good[:10], "min =", min(good) if good else None)

Подставьте выражение варианта. Границы цикла должны покрывать все x, от которых зависит условие. Если в выражении есть порог 70, проверяйте вокруг него и далеко за ним, не только сам порог.

Для отрезков на прямой Python нужен реже: набросайте на черновике, какие куски обязаны лежать в A. Если концы не целые, не округляйте их до перебора.

Типичные ошибки

• Проверили несколько x и решили, что истинно при всех.
• Импликация ложна на «ложь → истина». Она ложна только на «истина → ложь».
• Минимальная длина отрезка заменена на число целых точек.
• Пропущен x = 0 или отрицательные, если область их включает.